Question

在一個圓錐體的培養(yǎng)房內(nèi)培養(yǎng)了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養(yǎng)房分成兩個實驗區(qū)，其中小錐體叫第一實驗區(qū)，圓臺體叫第二實驗區(qū)，且兩個實驗區(qū)是互通的．假設蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的．
（1）求蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率；
（3）記X為落入第一實驗區(qū)的蜜蜂數(shù)，求隨機變量X的數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析：（1）由題意知蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，可以得到這是一個等可能事件的概率，做出條件中所給的兩個幾何體的體積，求比值得到結(jié)果．
（2）本題符合獨立重復試驗，實驗一共復數(shù)10次，恰好有一次發(fā)生，發(fā)生的概率根據(jù)上一問做出的結(jié)果，代入公式得到概率．
（3）因為蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，得到變量X滿足二項分布，根據(jù)二項分布的期望公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）由題意知蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，
可以得到這是一個等可能事件的概率，
記“蜜蜂落入第一實驗區(qū)”為事件A，“蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件B．
依題意，P(A)=

V小椎體

V圓椎體

=

1 3 • 1 4 •S圓錐底面• 1 2 h圓錐

1 3 •S圓錐底面h圓錐

=

1

8

∴P(B)=1-P(A)=

7

8

∴蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率為

7

8

．
（2）本題符合獨立重復試驗，
記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)”為事件C，則
P(C)=

C

1 10

×

7

8

×(

1

8

)9=

70

810

=

70

230

∴恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區(qū)的概率

70

230

．
（3）因為蜜蜂落入培養(yǎng)房內(nèi)任何位置是等可能的，
且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，
∴變量X滿足二項分布，即X～(40，

1

8

)
∴隨機變量X的數(shù)學期望EX=40×

1

8

=5

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查獨立重復試驗，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，大型考試中理科考試必出的一道問題．