Question

設(shè)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點(diǎn)(

an

，an+1)，n∈N*函數(shù)y=x²+2的圖象上，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₁）=b₁．
（1）求{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，點(diǎn)(

an

，an+1)，n∈N*函數(shù)y=x²+2的圖象上，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式；利用{b_n}為等比數(shù)列可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列{

an

bn

}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法可求前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）由已知得a_n+1=a_n+2，∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=1，所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．…（3分）
故a_n=1+2（n-1）=2n-1…（4分）
∵b₁=a₁=1，b₂×4=1，∴b2=

1

4

又∵{b_n}為等比數(shù)列，∴bn=1•(

1

4

)n-1…（8分）
（2）

an

bn

=(2n-1)•4n-1，記數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和為S_n…（10分）
∴Sn=1+3•41+5•42+…+(2n-1)•4n-1
∴4Sn=4+3•42+5•43+…+(2n-1)•4n
兩式相減，可得-3Sn=1+2•41+2•42+…+2•4n-1-(2n-1)•4n
∴-3S_n=-（6n-5）•4ⁿ-5
∴Sn=

1

3

[(6n-5)•4n+5]…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是關(guān)鍵．