Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：過原點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有一條；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)上任意一點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)過原點(diǎn)知有唯一解即可求證；

(2) 構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系即可求出a的范圍.

（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程為.

此切線過原點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即.

當(dāng)，則方程有且只有一個(gè)解，

曲線在原點(diǎn)處的切線過原點(diǎn).

綜上所述，無論取什么值，過原點(diǎn)且與曲線相切的直線都有且只有一條，即直線.

（2）令，

則.

①若，則，故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，；

②若，則.

當(dāng)時(shí)，，.

令，則.

而當(dāng)時(shí)，，，于是：

若，則，故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而，

故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，；

若，則存在，使得.

當(dāng)時(shí)，，

，故在上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而，

故在上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.