Question

（文）如圖，已知雙曲線，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是它的左、右焦點，P₂P⊥F₁F₂，交雙曲線于P點，連接F₁P交雙曲線于另一點Q，分別與雙曲線的漸近線交于A，B，且∠F₁PF₂=60°．
（1）求雙曲線的離心率；（2）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°，故，由此能求出雙曲線的離心率．
（2）由e=，知b²=2a²，設(shè)雙曲線方程為，直線PF₁：，則，由此能求出的值．
解答：解：（1）△F₁F₂P中，|F₁F₂|=2c∠F₁PF₂=60°
∴…（2分）
∴，
∴…（5分）
（2）∵，
∴b²=2a²，
設(shè)雙曲線方程為，
即2x²-y²=2a²，①…（7分）
直線PF₁：，
即，②…（8分）
由①②得
∴…（11分）
再由雙曲線的漸進線方程2x²-y²=0，
∴|AB|=，
∴．…（13分）
點評：題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．