Question

【題目】已知橢圓，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上且不在軸上，直線與橢圓的交點(diǎn)分別為和，為坐標(biāo)原點(diǎn).

設(shè)直線的斜率為，證明：

問直線上是否存在點(diǎn)，使得直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出斜率，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；

（2）設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出斜率，利用kOA+kOB+kOC+kOD＝0，即可得到結(jié)論．

因?yàn)闄E圓方程為，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）

設(shè)P（x0，2﹣x0），則，，

所以

（2）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．

設(shè)直線PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1

聯(lián)立可得

，

代入，可得

同理，聯(lián)立PF2和橢圓方程，可得

由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，

所以直線方程為或，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）或