Question

若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，點(diǎn)在曲線上.
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè),表示數(shù)列的前項(xiàng)和,若恒成立，求及實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1），.；（2）；（3），.

解析試題分析：（1）分別取和，可求；（2）將點(diǎn)P代入曲線方程，化簡(jiǎn)，可得：，從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可求得；（3）用裂項(xiàng)相消法可求解.
試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以.
分別取和，得到，
由解得，.
（2）由得.
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
所以，  即
由公式，得
所以
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c6/0/hqr1w.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，



顯然是關(guān)于的增函數(shù)， 所以有最小值
由于恒成立，所以，
于是的取值范圍為.
考點(diǎn)：（1）數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系；（2）等差數(shù)列的證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)相消法.