Question

設(shè)f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）為f（x）的反函數(shù)．
（1）當(dāng)a=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)y=f（x）-x的最小值；
（2）試證明：當(dāng)f（x）與g（x）的圖象的公切線為一、三象限角平分線時(shí)，a=e

1

e

．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值點(diǎn)，求出f'（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值1．
（2）顯見，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，一三象限角平分線不可能是f（x）與g（x）的公切線，故a＞1．再設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀）由

ax0=x0    (1) ax0lna=1 (2)

有x₀=log_ae代入，即可求得．

解答：解：（1）由y=e^x-x有y'=e^x-1．
解e^x-1=0得x=0
顯見當(dāng)x＜0時(shí)，y'＜0．當(dāng)x＞0時(shí)y'＞0．
故y=e^x-x在（-∞，0]單減，在（0，+∞）單增．
從而在x=0處取得極小值e°-0=1，同時(shí)也是最小值．
（2）顯見，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，一三象限角平分線不可能是f（x）與g（x）的公切線，故a＞1．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，x₀）由

ax0=x0    (1) ax0lna=1 (2)

有x₀=log_ae代入 （1）
從而alogae=logae即e=log_ae．
故a^e=e．有a=e

1

e

．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題，考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．