Question

對于函數(shù)f（x）=ax-（a+1）ln（x+1） （a＞0）
（Ⅰ）試求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若a=1，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f′（0），n≥2時，an=

2

f′(n-1)-1

，求證：（(1-

1

an

)an+1＜

1

e

＜(1-

1

an

)an；
（Ⅲ）設b_n=-

1

an

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)負數(shù)沒有對數(shù)求出f（x）的定義域，然后求出f（x）的導函數(shù)，令導函數(shù)等于0求出x的值，在定義域內根據(jù)x的值，判斷導函數(shù)的正負即可得到函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）把a=1代入f（x）及導函數(shù)中，確定出f（x）的導函數(shù)及f′（0）的值，進而得到a_n的通項，把求得的a_n的通項代入所證的不等式中化簡，即要證

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，令g（x）=x-ln（1+x），求出g（x）的導函數(shù)，找出g（x）的單調增區(qū)間為（0，+∞），又根據(jù)g（x）在x=0處連續(xù)，所以得到g（

1

n

）大于g（0），化簡后得到一個不等式，記作①，然后令φ（x）=ln（x+1）-

x

1+x

，求出φ（x）的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)大于0，找出φ（x）的增區(qū)間為[0，+∞），也得到φ（

1

n

）大于φ（0），代入化簡后得到令一個不等式，記作②，聯(lián)立①②，得證；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的a_n的通項代入b_n=-

1

an

，得到b_n的通項，羅列出前n項的和T_n的各項，再根據(jù)（Ⅱ）的結論，分別令n=1，2，…，2010，代入不等式中，將各式相加，利用對數(shù)的運算法則及已知化簡后，得證．

解答：解：（Ⅰ）由已知的函數(shù)定義域為（-1，+∞）且f′（x）=a-

a+1

x+1

=

ax-1

x+1

，
令f′（x）=0，解得x=

1

a

（a＞0），
（i）當x∈（-1，

1

a

）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-1，

1

a

）內單調遞增；
（ii）當x∈（

1

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（

1

a

，+∞）內單調遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間是（-1，

1

a

），增區(qū)間是（

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）由已知a=1時，f′（x）=1-

2

x+1

，
∴a₁=f′（0）=-1，n≥2時，a_n=

2

f′(n-1)-1

=-n，
∴a_n=-n（n∈N⁺），
于是，所證不等式即為：
(1+

1

n

)-(n+1)＜

1

e

＜(1+

1

n

)-n?(1+

1

n

)n＜e＜(1+

1

n

)n+1?nln（1+

1

n

）＜1＜（n+1）ln（1+

1

n

）
即

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，
為此，令g（x）=x-ln（1+x）⇒g′（x）=1-

1

1+x

=

x

1+x

，
∴當x∈（0，+∞），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，又g（x）在x=0處連續(xù)，
∴n∈N⁺，g（

1

n

）＞g（0）=0⇒

1

n

-ln（1+

1

n

）＞0，①
設φ（x）=ln（x+1）-

x

1+x

，x∈[0，+∞），
得：φ′（x）=

1

x+1

-

1

(1+x)2

=

x

(1+x)2

，
當x＞0時，φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）內是增函數(shù)，
所以φ（x）在[0，+∞）內是增函數(shù)．
當n∈N⁺時，φ（

1

n

）＞φ（0）=0，
即ln（1+

1

n

）-

1 n

1+ 1 n

＞0⇒

1

1+n

＜ln（1+n）②，
由①②得：

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即(1-

1

an

)an+1＜

1

e

＜(1-

1

an

)an；
（Ⅲ）由b_n=-

1

an

=

1

n

，則T_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
由（Ⅱ）可知

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，
令n=1，2，3，…，2010，并將各式相加得：

1

2

+

1

3

+…+

1

2011

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2011

2010

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2010

，
即T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

點評：此題考查了由導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，考查了數(shù)列與函數(shù)及不等式的綜合，是一道中檔題．此題的難點為第二問中不等式的證明．