Question

對于函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出探索過程；
（3）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在求出a的值，不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2^x＞0可求得函數(shù)定義域，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域及反比例函數(shù)的值域可求得f（x）的值域；
（2）利用指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可作出判斷；
（3）先設(shè)f（x）為奇函數(shù)，然后根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（-x）=-f（x），由此刻求得a值，代入a值再檢驗；

解答：解：（1）∵2^x＞0，
∴f（x）的定義域為R，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴a-2＜a-

2

2x+1

＜a，即a-2＜f（x）＜a，
∴f（x）的值域為（a-2，a）；
（2）∵y=2^x單調(diào)遞增，
∴y=

2

2x+1

單調(diào)遞減，y=-

2

2x+1

單調(diào)遞增，
∴f（x）=a-

2

2x+1

單調(diào)遞增；
（3）若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
∴a-

2

2-x+1

=-(a-

2

2x+1

)，即2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2•2x

1+2x

=2，
∴a=1，
當a=1時f（x）=1-

2

2x+1

，經(jīng)驗證f（-x）=-f（x）成立．
故存在實數(shù)a=1使f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)定義域、值域的求解，屬基礎(chǔ)題，定義是解決函數(shù)性質(zhì)的基本方法，熟記基本函數(shù)定義域、值域是解決相關(guān)問題的基礎(chǔ)．