Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值;

（2）當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值. （2）

【解析】

（1）由得,當(dāng),得,即可求得函數(shù)的極值.

（2）由題意有恒成立,即恒成立, 設(shè),則, 求得的最小值,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由得,

令,得,

當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),

函數(shù)在上單調(diào)遞減;函數(shù)在單調(diào)遞增.

函數(shù)存在極小值.其極小值為,無極大值.

（2）由題意有恒成立,即恒成立,

設(shè),

則,

設(shè),下面證明有唯一解.

易知單調(diào)遞增,且,所以若有零點(diǎn)x,則,

令,可得,（※）

注意到,

所以方程（※）等價(jià)于,

又由（1）可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,

又當(dāng)時(shí),,

所以方程等價(jià)于方程,

設(shè)函數(shù),則單調(diào)遞增,

又,,所以存在,使得

,即方程有唯一解,即,

因此方程有唯一解,

所以有唯一解.

且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

所以的最小值為,

所以.