Question

【題目】如圖，已知四棱錐的側棱底面，且底面是直角梯形，，，，點在側棱上．

（1）求證：平面；

（2）若側棱與底面所成角的正切值為，點為側棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) ．

【解析】

試題分析：(1)要證明平面，就是要證與平面內兩條相交直線垂直，由已知底面，得，因此還要證（們是相交的直線），這個可利用勾股定理可得；（2）由已知得棱與底面所成角就是，即，要求異面直線和所成的角，我們一般平移其中一條直線使之與另一條相交，圖中由于，為的中點，取的中點，則有且，從而且，因此是平行四邊形，，則就是異面直線和所成的角，解三角形可得.

試題解析：（1）由已知可算得，，

故，

又，平面，故，

又，所以平面；………………………6分

（2）如圖，取PD中點為N，并連結AN，MN，易證明，

則即異面直線與所成角；

又底面，即為與底面所成角，

即，，即，

易求得，，則在中，，

即異面直線與所成角的余弦值為． ………………………12分