Question

【題目】已知函數f（x）= （x≠1）
（1）證明f（x）在（1，+∞）上是減函數；
（2）令g（x）=lnf（x），判斷g（x）=lnf（x）的奇偶性并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明： ，設x1＞x2＞1，則：

= ；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0；

∴ ；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（1，+∞）上是減函數

（2）解： ；

∴ ；

解 得，x＜﹣1，或x＞1；

；

∴g（x）為奇函數

【解析】（1）分離常數得到 ，根據減函數的定義，設任意的x1＞x2＞1，然后作差，通分，證明f（x1）＜f（x2）即得出f（x）在（1，+∞）上是減函數；（2）先求出 ，然后求g（x）的定義域，并根據對數的運算求出g（﹣x）=﹣g（x），這樣便得出g（x）為奇函數．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．