Question

【題目】如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB ∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.

(1)求證：平面DAF⊥平面CBF；

(2)求直線AB與平面CBF所成角的大小；

(3)求AD的長為何值時，平面DFC與平面FCB所成的銳二面角的大小為60°？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）∠ABF＝30°.（3） .

【解析】試題分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，可得CB⊥平面ABEF，再利用線面垂直的判定，證明AF⊥平面CBF，從而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（2）確定∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角，過點F作FH⊥AB，交AB于H，計算出AF，即可求得直線AB與平面CBF所成角的大小；（3）建立空間直角坐標系，求出平面DCF的法向量平面CBF的一個法向量利用向量的夾角公式，即可求得AD的長．

試題解析：

(1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF.

∵AF平面ABEF，∴AF⊥CB，

又∵AB為圓O的直徑，

∴AF⊥BF，CB∩BF＝B，CB，BF平面CBF，

∴AF⊥平面CBF.

∵AF平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF.

(2)由(1)知，AF⊥平面CBF，

∴FB為AB在平面CBF內(nèi)的射影，

∴∠ABF為直線AB與平面CBF所成的角．

∵AB∥EF，∴四邊形ABEF為等腰梯形．

過點F作FH⊥AB，交AB于H.

AB＝2，EF＝1，則AH＝＝.

在Rt△AFB中，根據(jù)射影定理AF2＝AH·AB，

得AF＝1.

sin∠ABF＝＝，

∴∠ABF＝30°.

(3)設(shè)EF中點為G，以O為坐標原點，OA、OG、AD方向分別為x軸、y軸、z軸方向建立空間直角坐標系(如圖)．

設(shè)AD＝t(t＞0)，則點D的坐標為(1,0，t)，

則C(－1,0，t)，又A(1,0,0)，B(－1,0,0)，F(，，0)，

∴＝(2,0,0)，＝(，－，t)．

設(shè)平面DFC的平面法向量為n1(x，y，z)

即

令z＝，解得x＝0，y＝2t.∴n1＝(0,2t，)．

由(1)可知AF⊥平面CFB，取平面CBF的一個法向量為n2＝＝(－，，0)，

∴cos60°＝，即＝，

解得t＝.