Question

【題目】設(shè)是曲線上兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4，直線的斜率為2.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，且，試求三角形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意設(shè)出直線方程,并設(shè).聯(lián)立直線與拋物線方程,用韋達(dá)定理求得,即可得曲線的方程;

（2）將曲線C的方程變形,求得導(dǎo)函數(shù).根據(jù)題意可求得切點(diǎn)M的坐標(biāo).聯(lián)立直線與拋物線,結(jié)合韋達(dá)定理可得.結(jié)合直線方程可表示出.利用平面向量數(shù)量積定義,表示出.根據(jù)即可得.所以可得直線方程.結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求得,利用點(diǎn)到直線距離公式可得點(diǎn)到直線的距離,進(jìn)而求得三角形的面積.

（1）設(shè)直線方程為：

則,

則,

所以

即曲線C的方程為；

（2）設(shè),曲線,

變形可得,則

曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行可得：

,所以,

,化簡(jiǎn)可得

則

,

,

,即

∴

直線方程為：

弦長(zhǎng),

高為點(diǎn)到直線的距離,

所以