Question

【題目】已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，數(shù)列的前n項和為．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)，求的前n項和；

（3）若對恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，，，列方程組解方程組可得；
（2）分和討論，求；
（3）令，由單調(diào)性可得，由題意可得，易得的最小值．

解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則由題意可得，解得或，
∵數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，
∴數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）知，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，

，

綜合得：
（3）由（1）可知，

令，，∴隨著的增大而增大，
當(dāng)為奇數(shù)時，在奇數(shù)集上單調(diào)遞減，，
當(dāng)為偶數(shù)時，在偶數(shù)集上單調(diào)遞增，，
，

對恒成立，
，

∴的最小值為．