Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.

（1）證明：是等比數(shù)列，并求；

（2）若數(shù)列中去掉與數(shù)列中相同的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)按原順序排列成數(shù)列，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)所給等式，先求得，再利用作差法可得，兩邊同時(shí)加1，可構(gòu)造等比數(shù)列即可證明；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求法，即可得.

（2）根據(jù)所給等式，先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再找出數(shù)列與數(shù)列中重復(fù)的6項(xiàng)，可知的前50項(xiàng)即為數(shù)列的前56項(xiàng)和減去數(shù)列的前6項(xiàng)和.

（1）證明:由當(dāng)時(shí)，代入可得,

解得，

因?yàn)?/span>，，

所以，

從而由，

所以，

所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

故.

（2）由題意，，

，，

所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.

則，

又因?yàn)?/span>，，，，，，，

，，

所以

.