Question

【題目】在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)與、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)，使得平面平面；

②存在點(diǎn)，使得平面；

③若的面積為，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，可判定①正確；由面面平行的性質(zhì)定理，可得判定②正確；由三角形的面積公式，可求得的面積為的范圍，可判定③錯(cuò)誤；由三角形的面積公式，得到的范圍，可判定④正確.

連接，設(shè)平面與對(duì)角線交于，

由，可得平面，即平面，

所以存在點(diǎn)，使得平面平面，所以①正確；

由，

利用平面與平面平行的判定，可得證得平面平面，

設(shè)平面與交于，可得平面，所以②正確；

連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作,

在正方體中，平面，所以，

所以為異面直線與的公垂線，

根據(jù)，所以，即，

所以的最小面積為.

所以若的面積為，則，所以③不正確；

再點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，從減少趨向于0，即，

從增大到趨向于，即，在此過程中，必存在某個(gè)點(diǎn)使得，

所以④是正確的.

綜上可得①②④是正確的.

故選：C.