Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在坐標(biāo)軸上，一條漸近線方程為y=x，且過點(diǎn)(4，-

10

)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），則雙曲線上距點(diǎn)A距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是

(±

7

，1)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意該雙曲線是等軸雙曲線，設(shè)方程為x²-y²=λ（λ≠0），代入已知點(diǎn)坐標(biāo)算出λ=6，從而得到雙曲線方程．再設(shè)點(diǎn)P（m，n）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將PA長表示為m、n的式子，結(jié)合雙曲線方程和二次函數(shù)求最值的方法，可得當(dāng)P的縱坐標(biāo)為1時(shí)P、A的距離最短，由此不難得到雙曲線上距點(diǎn)A距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵雙曲線一條漸近線方程為y=x，
∴雙曲線是等軸雙曲線，設(shè)方程為x²-y²=λ（λ≠0）
∵點(diǎn)(4，-

10

)在雙曲線上，
∴4²-（-

10

）²=λ，解得λ=6
因此，雙曲線方程為x²-y²=6，
設(shè)點(diǎn)P（m，n）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，得
|PA|=

m2+(n-2)2

=

2n2-4n+4

當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，|PA|有最小值

2

，此時(shí)m=±

7

∴雙曲線上的P坐標(biāo)是（±

7

，1）時(shí)，P距點(diǎn)A的距離最短．
故答案為：（±

7

，1）

點(diǎn)評(píng)：本題給出等軸雙曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求該點(diǎn)到（0，2）距離的最小值，著重考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．