Question

【題目】設(shè)直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2的三個(gè)交點(diǎn)分別為A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①abc的取值范圍是（0，4）；

②a2+b2+c2為定值；③a+b+c=6

其中正確結(jié)論的為_______

Answer 1

【答案】①②③

【解析】設(shè)y=f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，則f′（x）=3x2﹣12x+9，

令f′（x）=0，解得x=1或x=3；

當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函數(shù)，在（1，3）上是減函數(shù)，在（3，+∞）上是增函數(shù)；

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=4，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極小值f（3）=0；

作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示：

∵直線y=t與曲線C：y=x（x﹣3）2有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象知0＜t＜4，①正確；

令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，則a，b，c是g（x）=0的三個(gè)實(shí)根．

∴x3﹣6x2+9x﹣t=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），

即x3﹣6x2+9x﹣t=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，

∴a+b+c=6，ab+bc+ac=9，abc=t，③正確；

∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18，∴②正確；

綜上，正確的命題序號是①②③．

故答案為：①②③．