Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別是，點在橢圓上， 是等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）點在橢圓上，線段與線段交于點，若與的面積之比為，求點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓短軸上的頂點得，由是正三角形得即，從而求得方程；

（Ⅱ）設(shè)， ，因為，所以，且，從而得即，代入橢圓方程得，將代入直線的方程得到，即可得解.

試題解析：

解：（Ⅰ）由題意是橢圓短軸上的頂點，所以，

因為是正三角形，

所以，即.

由，所以.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

（Ⅱ）設(shè)， ，依題意有， ， ， .

因為，所以，且，

所以， ，即.

因為點在橢圓上，所以，即.

所以，解得，或.

因為線段與線段交于點，

所以，所以.

因為直線的方程為，

將代入直線的方程得到.

所以點的坐標(biāo)為.