Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a4=5，a2+a8=14，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1，bn+1=2 bn ．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和；
（3）若cn=an（ ） ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a4=5，a2+a8=14，

∴ ，解得a1=﹣1，d=2，

∴an=2n﹣3．

∵數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1，bn+1=2 bn．

∴ ，∴ ，

以上各式相乘，得 ，

∵b1=1，∴ ．

（2）解：∵ ，

∴數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為：

=1﹣ ，

∴ ．

（3）解：∵an=2n﹣3，cn=an（ ） ，

∴ ，

∴ ，①

2Sn=﹣12+122+…+（2n﹣5）2n﹣1+（2n﹣3）2n，②

①﹣②，得 ﹣（2n﹣3）2n

=﹣1+2 ﹣（2n﹣3）2n

=（5﹣2n）2n﹣5，

∴ ．

【解析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求出首項(xiàng)和公差，由此能求出等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由已知條件得 ，由此利用累乘法能求出 ．（2）由 ，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和．（3） ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn ．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．