Question

【題目】如圖 ，在四棱錐中， , ， 為棱的中點(diǎn)， .

（1）證明： 平面；

（2）若二面角的大小為,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）由已知條件得， ，再根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得平面；（2）利用空間向量研究線(xiàn)面角,先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)列各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求平面一個(gè)法向量,再利用向量數(shù)量積求直線(xiàn)方向向量與法向量夾角余弦值,最后根據(jù)線(xiàn)面角與向量夾角互余關(guān)系確定直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：由已知， ，

又，即，

且 ，

∴平面 .

（2）∵平面 ，∴為二面角的平面角，從而.

如圖所示，在平面內(nèi)，作， 以為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

∴.

設(shè)平面的法向量，

則，取，則.

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,

則 .

∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.