Question

（2011•武昌區(qū)模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+3）x²+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)方程f（x）=0有三個不等的正實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出其導(dǎo)函數(shù)；
（Ⅰ）把a(bǔ)=-1代入導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)求出漢化蘇的單調(diào)區(qū)間即可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）把問題轉(zhuǎn)化為f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，結(jié)合x的范圍即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)題意得到

a＞0 f(a)f(3)＜0

，解不等式即可得到結(jié)論．

解答：解：由題得：f′（x）=6x²-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f′（x）=6（x-3）（x+1）．…（1分）
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞3．
所以f（x）在（-∞，-1）或（3，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）的最大值為f（-1）=18．
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）的最小值為f（3）=-46．…（4分）
（Ⅱ）依題意：f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立．…（5分）
因x∈[1，2]，（3-x）＞0，
故a≤

3x-x2

3-x

=x在x∈[1，2]恒成立，
所以a≤x_min=1．…（8分）
（Ⅲ）顯然，x=3，x=a是極值點(diǎn)．
依題意，當(dāng)方程f（x）=0有三個不等的正實(shí)數(shù)解時(shí)，有：

a＞0 f(a)f(3)＜0

即

a＞0 (19a-27)(-a)(a-1)(a-8)＜0

…（12分）
所以：1＜a＜

27

19

或a＞8為所求．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．