Question

（2011•武昌區(qū)模擬）已知點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率之積為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q（2，0）的直線與點(diǎn)P的軌跡交于E、F兩點(diǎn)，求證

CE

•

CF

為常數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線PA和PB的斜率分別為

y

x+ 2

與

y

x- 2

，（x≠±

2

），由題設(shè)知

y

x+ 2

• 

y

x- 2

=1，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），設(shè)過點(diǎn)Q（2，0）的直線為y=k（x-2），將它代入x²-y²=2，得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．由韋達(dá)定理，得

x1+x2= 4k2 k2-1 x1x2= 4k2+2 k2-1

，由此能求出

CE

•

CF

=-1．直線斜率不存在時，E（2，

2

），F(xiàn)（2，-

2

），

CE

•

CF

=-1．所以

CE

•

CF

為常數(shù)-1．

解答：（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）直線PA和PB的斜率分別為

y

x+ 2

與

y

x- 2

，（x≠±

2

），…（2分）
∵點(diǎn)P（x，y）與點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率之積為1，
∴

y

x+ 2

• 

y

x- 2

=1，
即y²=x²-2，…（4分）
所求點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²=2，（x≠±

2

）．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
設(shè)過點(diǎn)Q（2，0）的直線為y=k（x-2），…（6分）
將它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韋達(dá)定理，得

x1+x2= 4k2 k2-1 x1x2= 4k2+2 k2-1

，…（8分）
∴

CE

•

CF

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•

4k2+2

k2-1

-（1+2k²）•

4k2

k2-1

+1+4k²
=-1．    …（10分）
當(dāng)直線斜率不存在時，

x2-y2=2 x=2

，解得E（2，

2

），F(xiàn)（2，-

2

），
此時

CE

•

CF

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1．    …（12分）
故

CE

•

CF

=-1．
所以

CE

•

CF

為常數(shù)-1．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．