Question

【題目】對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．

（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；

（2）現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間．

①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；

②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）①；②見解析

【解析】

（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；

（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.

（1）由已知，，因為時，

，所以恒成立，故

與在區(qū)間上是“友好”的.

（2）①與在區(qū)間上都有意義，

則必須滿足，解得，又且，

所以的取值范圍為.

②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，

則，即，

因為，則，，所以在的右側，

又復合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，

從而，，

所以，解得，

所以當時，與與在區(qū)間上是“友好”的；

當時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.