Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（1）求的方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在直線上，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，使得，再過(guò)作直線，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

（1）由題意得，根據(jù)離心率為可得，故可得到C的方程。（2）由為線段的中點(diǎn)。設(shè)，當(dāng)時(shí)，由“點(diǎn)差法”可得直線的斜率為，從而直線的方程可求得為

，過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 過(guò)點(diǎn)。故可得直線過(guò)點(diǎn)。

試題解析：

（1）由題意知，

又橢圓的離心率為，所以，

所以，

所以橢圓的方程為.

（2）因?yàn)橹本�的方程為，設(shè) ，

①當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然，

由可得，即,

又，所以為線段的中點(diǎn)，

故直線的斜率為，

又，

所以直線的方程為

即，顯然恒過(guò)定點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)， 過(guò)點(diǎn)，

綜上可得直線過(guò)定點(diǎn).