Question

【題目】 （本小題滿分12分）

如圖， 在四面體ABOC中, , 且.

（Ⅰ）設(shè)為為的中點(diǎn)， 證明： 在上存在一點(diǎn)，使，并計(jì)算；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

Answer 1

【答案】解法一：

（Ⅰ）在平面內(nèi)作交于，連接。

又，　

，。

取為的中點(diǎn)，則。

在等腰　中，，

在中， ，

在中， ， .

（Ⅱ）連接 ，由，知：.

又，

又由，.

是在平面內(nèi)的射影.

在等腰中，為的中點(diǎn)，

根據(jù)三垂線定理，知： ,

為二面角的平面角.

在等腰中，，

在中， ，中，.

解法二：（Ⅰ） 取為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）,則 , 為中點(diǎn)，

.

設(shè) .

即，。

所以存在點(diǎn) 使得 且.

（Ⅱ）記平面的法向量為,則由，，

且，得， 故可取

又平面的法向量為 ..

二面角的平面角是銳角，記為，則.

【解析】略