Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC的中點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖所示．

（Ⅰ）求三棱錐P﹣ABD的體積．
（Ⅱ）在∠ACB的平分線所在直線上確定一點Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時PQ的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：
三棱錐P﹣ABD的底面ABC中，AC=BC=4，AC⊥BC，
高PA=4，
故三棱錐P﹣ABD體積V= × ×4×4×4= ；
（Ⅱ）解：如圖取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，點Q即為所求．

因為O為CQ中點，所以PQ∥OD，
因為PQ平面ABD，OD平面ABD，所以PQ∥平面ABD
連接AQ，BQ，四邊形ACBQ的對角線互相平分，
所以ACBQ為平行四邊形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，PQ= =4 ．
【解析】（Ⅰ）由已知中的三視圖，得到棱錐的底面邊長和高，代入棱錐體積公式，可得答案；（Ⅱ）取AB的中點O，連接CO并延長至Q，使得CQ=2CO，利用線面平行的判定可知點Q即為所求，證明ACBQ為平行四邊形，即可求出PQ的長
【考點精析】關于本題考查的由三視圖求面積、體積和直線與平面平行的判定，需要了解求體積的關鍵是求出底面積和高；求全面積的關鍵是求出各個側面的面積；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能得出正確答案．