Question

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：①構(gòu)造函數(shù)：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．②討論 對(duì)稱軸x=-

m

2

＞

3

2

或-

m

2

＜

3

2

時(shí)f（x）的單調(diào)性，得f（1），f（2）為兩部分的最大值若滿足f（1），f（2）都小于等于0即能滿足x∈（1，2）時(shí)f（x）＜0，由此則可求出m的取值范圍

解答：解：法一：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+mx+4＜0恒成立．
則由開(kāi)口向上的一元二次函數(shù)f（x）圖象可知f（x）=0必有△＞0，
①當(dāng)圖象對(duì)稱軸x=-

m

2

≤

3

2

時(shí)，f（2）為函數(shù)最大值當(dāng)f（2）≤0，得m解集為空集．
②同理當(dāng)-

m

2

＞

3

2

時(shí)，f（1）為函數(shù)最大值，當(dāng)f（1）≤0可使 x∈（1，2）時(shí)f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．綜合①②得m范圍m≤-5
法二：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)：f（x）=x²+mx+4，x∈[1，2]．由于當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x²+mx+4＜0恒成立
即

f(1)≤0 f(2)≤0

解得

m≤-4 m≤-5

即 m≤-5
故答案為 m≤-5

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)圖象討論以及單調(diào)性問(wèn)題．