Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5，
（1）若函數(shù)f（x）在（-

2

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，求實數(shù)a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在（-2，

1

6

）上單調遞減，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若a=-

1

2

，當x∈（-1，2）時不等式f（x）＜m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在（-

2

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，從而可求實數(shù)a的值；
（2）由題意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，

1

6

）上恒成立，由此可實數(shù)a的取值范圍；
（3）求導函數(shù)，求導函數(shù)x∈（-1，2）時，f（x）的最小值，欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min，從而可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數(shù)可得f′（x）=3x²+2ax-2，
∵函數(shù)f（x）在（-

2

3

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴x=1是方程f′（x）=0的根，解得a=-

1

2

 …..（3分）
（2）由題意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，

1

6

）上恒成立，
∴

f′(-2)≤0 f′( 1 6 )≤0

，∴

12-4a-2≤0 1 12 + a 3 -2≤0

，∴

5

2

≤a≤

23

4

 …..（7分）
（3）當a=-

1

2

時，f（x）=x³-

1

2

x²-2x+5，，
由f′（x）=0得x=-

2

3

或1
列表：

x	-1	（-1，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	11 2		128 27		7 2		7

∴x∈（-1，2）時，f（x）的最小值為

7

2

，此時x=1
欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min=

7

2

∴實數(shù)m的取值范圍為[

7

2

，+∞）．      …（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，區(qū)分恒成立與有解是解題的關鍵．