Question

【題目】已知函數(shù)的圖像與直線(xiàn)相切.

（Ⅰ）求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為； (Ⅱ)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)切線(xiàn)的關(guān)系得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，解方程可得m=1，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；

(Ⅱ)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分類(lèi)討論可得：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).

試題解析：

(I)設(shè)的圖像與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，

，

則即

解得：

由得；得；

所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；增區(qū)間為

(II)

；

記函數(shù)

由得；得

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

又時(shí)，；

時(shí)，；且.

則：當(dāng)時(shí)， 與的圖像無(wú)交點(diǎn)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)， 與的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 與的圖像恰有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).