Question

【題目】已知點(diǎn)，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足軸，，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)的內(nèi)切圓面積最大時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，從而可用 表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當(dāng)半徑取最大時(shí)， 的值，從而可求出直線的方程.

解：（1）因?yàn)?/span>軸，所以，則，

由，，解得，，，

由橢圓的定義知， ，即，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.

因?yàn)?/span>，，設(shè)，，易知，直線l的斜率不為0，

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，

故，；

所以

，

又，

故，即，；

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)內(nèi)切圓半徑取最大值為，

直線l的方程為或.