Question

【題目】如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析．（2）

【解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）因?yàn)?/span>，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以．

因?yàn)?/span>，點(diǎn)為中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，

，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即

取，則，，所以，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即

取，則，，所以，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則．

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．