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        1. (2012•廣元三模)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,且AD=
          3
          4
          BC,AB⊥AC,AB=AC=2,PA⊥平面ABCD,且E是BC中點,四面體P-BCA的體積為
          8
          3

          (I)求異面直線AE與PC所成角的余弦值;
          (Ⅱ)求點D到平面PBA的距離;
          (Ⅲ)棱PC上是否存在點F,使DF⊥AC?若存在,求
          PF
          FC
          的值;若不存在,說明理由.
          分析:(I)以AB為x軸,以AC為y軸,以AP為z軸,建立空間直角坐標系,由題設知
          AE
          =(1,1,0)
          ,
          PC
          =(0,2,-4)
          ,由此能求出異面直線AE與PC所成角的余弦值.
          (Ⅱ)由底面ABCD是梯形,AD∥BC,且AD=
          3
          4
          BC,AB⊥AC,AB=AC=2,知D(-
          3
          2
          ,
          3
          2
          ,0)
          ,故
          AD
          =(-
          3
          2
          ,
          3
          2
          ,0)
          ,由平面PBA的法向量
          n
          =
          AC
          =(0,2,0)
          ,能求出點D到平面PBA的距離.
          (Ⅲ)設棱PC上是存在點F,使DF⊥AC時
          PF
          PC
          =t,由
          PC
          =(0,2,-4)
          ,知
          PF
          =(0,2t,-4t)
          ,由此能導出棱PC上是存在點F,使DF⊥AC,此時
          PF
          FC
          =3.
          解答:解:(I)以AB為x軸,以AC為y軸,以AP為z軸,建立空間直角坐標系,
          ∵四棱錐P-ABCD中,AB=AC=2,PA⊥平面ABCD,E是BC中點,
          ∴E(1,1,0),C(0,2,0),
          ∵四面體P-BCA的體積為
          8
          3
          ,
          1
          3
          ×
          1
          2
          ×2×2×AP=
          8
          3
          ,∴AP=4,∴P(0,0,4),
          AE
          =(1,1,0)
          PC
          =(0,2,-4)

          設異面直線AE與PC所成角為α,
          則cosα=|cos<
          AE
          ,
          PC
          >|=|
          AE
          PC
          |
          AE
          |•|
          PC
           |
          |=|
          0+2+0
          2
          ×
          4+16
          |=
          10
          10

          (Ⅱ)∵底面ABCD是梯形,AD∥BC,且AD=
          3
          4
          BC,AB⊥AC,AB=AC=2,
          BC=
          4+4
          =2
          2
          ,AD=
          3
          4
          ×2
          2
          =
          3
          2
          2
          ,
          D(-
          3
          2
          ,
          3
          2
          ,0)
          ,∴
          AD
          =(-
          3
          2
          3
          2
          ,0)
          ,
          ∵平面PBA的法向量
          n
          =
          AC
          =(0,2,0)
          ,
          ∴點D到平面PBA的距離d=
          |
          n
          AD
          |
          |
          n
          |
          =
          |0+3+0|
          2
          =
          3
          2

          (Ⅲ)設棱PC上是存在點F,使DF⊥AC時
          PF
          PC
          =t,
          PC
          =(0,2,-4)
          ,∴
          PF
          =(0,2t,-4t)
          ,
          DF
          =
          DP
          +
          PF
          =(
          3
          2
          ,-
          3
          2
          ,4
          )+(0,2t,-4t)=(
          3
          2
          ,2t-
          3
          2
          ,4-4t
          ),
          AC
          =(0,2,0)
          ,
          DF
          AC
          ,
          ∴0+4t-3+0=0,t=
          3
          4
          ,
          PF
          FC
          =3.
          故棱PC上是存在點F,使DF⊥AC,此時
          PF
          FC
          =3.
          點評:本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,點到平面的距離的計算,探索線段上點的存在性.綜合性強,難度大,有一定的探索性,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答,注意向量法的合理運用.
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          π6
          );③y=ex-1;④y=x2.其中為一階格點函數(shù)的序號為
          ①③
          ①③
          (注:把你認為正確論斷的序號都填上)

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          5
          13
          ,cosB=
          3
          5
          ,則cosC=( 。

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          1
          3
          ,甲勝丙的概率為
          1
          4
          ,乙勝丙的概率為
          1
          3

          (I)求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率;
          (II)設該小組比賽中甲的得分為ξ,求Eξ.

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          x
          2
           
          9
          -
          y
          2
           
          3
          =1
          相交于A、B兩點,則線段AB的長度為( 。

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