Question

（2012•廣元三模）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=

3

4

BC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，且E是BC中點(diǎn)，四面體P-BCA的體積為

8

3

．
（I）求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面PBA的距離；
（Ⅲ）棱PC上是否存在點(diǎn)F，使DF⊥AC？若存在，求

PF

FC

的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)知

AE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，由此能求出異面直線AE與PC所成角的余弦值．
（Ⅱ）由底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=

3

4

BC，AB⊥AC，AB=AC=2，知D(-

3

2

，

3

2

，0)，故

AD

=(-

3

2

，

3

2

，0)，由平面PBA的法向量

n

=

AC

=(0，2，0)，能求出點(diǎn)D到平面PBA的距離．
（Ⅲ）設(shè)棱PC上是存在點(diǎn)F，使DF⊥AC時(shí)

PF

PC

=t，由

PC

=(0，2，-4)，知

PF

=(0，2t，-4t)，由此能導(dǎo)出棱PC上是存在點(diǎn)F，使DF⊥AC，此時(shí)

PF

FC

=3．

解答：解：（I）以AB為x軸，以AC為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐P-ABCD中，AB=AC=2，PA⊥平面ABCD，E是BC中點(diǎn)，
∴E（1，1，0），C（0，2，0），
∵四面體P-BCA的體積為

8

3

，
∴

1

3

×

1

2

×2×2×AP=

8

3

，∴AP=4，∴P（0，0，4），
∴

AE

=(1，1，0)，

PC

=(0，2，-4)，
設(shè)異面直線AE與PC所成角為α，
則cosα=|cos＜

AE

，

PC

＞|=|

AE • PC

| AE |•| PC  |

|=|

0+2+0

2 × 4+16

|=

10

10

．
（Ⅱ）∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD=

3

4

BC，AB⊥AC，AB=AC=2，
∴BC=

4+4

=2

2

，AD=

3

4

×2

2

=

3 2

2

，
∴D(-

3

2

，

3

2

，0)，∴

AD

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
∵平面PBA的法向量

n

=

AC

=(0，2，0)，
∴點(diǎn)D到平面PBA的距離d=

| n • AD |

| n |

=

|0+3+0|

2

=

3

2

．
（Ⅲ）設(shè)棱PC上是存在點(diǎn)F，使DF⊥AC時(shí)

PF

PC

=t，
∵

PC

=(0，2，-4)，∴

PF

=(0，2t，-4t)，
∴

DF

=

DP

+

PF

=（

3

2

，-

3

2

，4）+（0，2t，-4t）=（

3

2

，2t-

3

2

，4-4t），
∵

AC

=(0，2，0)，

DF

⊥

AC

，
∴0+4t-3+0=0，t=

3

4

，
∴

PF

FC

=3．
故棱PC上是存在點(diǎn)F，使DF⊥AC，此時(shí)

PF

FC

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，探索線段上點(diǎn)的存在性．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．