Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)在其定義域上滿足．
（1）函數(shù)的圖象是否是中心對稱圖形？若是，請指出其對稱中心（不證明）；
（2）當(dāng)時，求x的取值范圍；
（3）若，數(shù)列滿足，那么：
①若，正整數(shù)N滿足時，對所有適合上述條件的數(shù)列，恒成立，求最小的N；
②若，求證：．

Answer 1

解：（1）依題意有．若，則，得，這與矛盾，∴，∴，故的圖象是中心對稱圖形，其對稱中心為點．………（3分）
（2）∵，∴即又∵，∴
得．………（6分）
（3）①由得，∴．由得，
即．令，則，又∵，∴，∴．
∵，∴，∴當(dāng)時，．
【或∵，∴】
又∵也符合，∴，即，得．要使恒成立，只需，即，∴．故滿足題設(shè)要求的最小正整數(shù) 
② 由①知，∴，
，∴當(dāng)時，不等式成立．
證法1：∵，∴當(dāng)時，


．………（12分）
證法2：∵，∴當(dāng)時，
．………（12分）
證法3：∵，∴當(dāng)時，

（12分）
證法4：當(dāng)時，∵，∴
，∴
．………（12分）
證法5：∵，
∴當(dāng)時，．
綜上，對任意的，都有．………（12分）

略