Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若方程在上有兩個不等實根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的極小值為，無極大值.

（2）.

【解析】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù) ，令，求得極值點為，然后通過函數(shù)的單調(diào)性求得極值。

（2）分類討論的不同取值情況。在不同取值時，討論極值點、單調(diào)性和最值，從而判斷滿足存在兩個零點的條件。

詳解：（1）

因為，

所以，

令，得，

且時，，單調(diào)遞減，

時，，單調(diào)遞增，

所以的極小值為，無極大值.

（2）方程在上有兩個不等實根，即函數(shù)在上有兩個零點，

①當(dāng)時，由（1）可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

又因為，不合題意，舍去，

②當(dāng)時，時，，

時，，

單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，

要使函數(shù)在上有兩個零點，必須，

得，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，得，

又因為，

所以

③時，在單調(diào)遞增，不合題意；

④當(dāng)時，時，，

時，，

單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，

因為，要使函數(shù)在上有兩個零點，

則，

得

又，

綜上所述，