Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，3），C（cosθ，sinθ），其中θ∈(

π

2

，

3π

2

)．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角θ的弧度數(shù)；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2θ-sin2θ

1+tanθ

的值．

Answer 1

分析：（I）首先表示出向量AC和向量BC，然后根據(jù)|

AC

|=|

BC

|列出式子并進(jìn)行化簡，求得tanθ=1，再根據(jù)定義域確定θ的值；
（II）首先根據(jù)

AC

•

BC

=-1?（cosθ-3）cosθ+sinθ（sinθ-3）=-1，并化簡得出sinθ+cosθ=

2

3

，然后平方得出2sinθcosθ=-

5

9

＜0，進(jìn)而求出sinθ-cosθ=

14

3

，將

2sin2θ-sin2θ

1+tanθ

化簡成

2sinθcosθ(sinθ-cosθ)

sinθ+cosθ

把相應(yīng)的數(shù)值代入即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，

AC

=(cosθ-3，sinθ)，

BC

=(cosθ，sinθ-3)；
由 |

AC

|=|

BC

|得：（cosθ-3）²+sin²θ=cos²θ+（sinθ-3）²，（3分）
解得tanθ=1，又θ∈(

π

2

，

3π

2

)，得θ=

5π

4

．                       （6分）
（Ⅱ）由

AC

•

BC

=-1
得：（cosθ-3）cosθ+sinθ（sinθ-3）=-1，
化簡得sinθ+cosθ=

2

3

，∴2sinθcosθ=-

5

9

＜0，（8分）
又θ∈(

π

2

，

3π

2

)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴sinθ-cosθ=

1-2sinθcosθ

=

1-(- 5 9 )2

=

14

3

．                     （10分）
∴

2sin2θ-sin2θ

1+tanθ

=

2sinθcosθ(sinθ-cosθ)

sinθ+cosθ

=-

5

9

×

14

3

×

3

2

=-

5 14

18

．     （12分）

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的化簡求值以及向量的有關(guān)知識，尤其要注意根據(jù)角的范圍確定函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題．