Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，AB=4，CD=1，點M在線段PB上，PB與平面ABC成30°角．
（1）找出一點M的具體位置，使CM∥平面PAD（要說明理由）．
（2）求證：平面PAB⊥平面PAD．
（3）若點M到平面PAD的距離是

2

，問點M位于線段PB上哪一位置？

Answer 1

分析：（1）在底面四邊形ABCD中，由∠B=∠C=90°，知AB∥CD，由此能推導(dǎo)出四邊形CDFM是平行四邊形．從而能夠找到點M在線段PB上使PA=4PM處．
（2）．由PC⊥面ABCD，知∴∠PBC是直線PB與平面ABCD所成的角，所以BC=2

3

，由此能夠證明平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足為G，由平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB，知G∈PA=平面PAB∩平面PAD，再由△PMG∽△PBE，能得到此時點M在PB的中點上．

解答：（1）解：在底面四邊形ABCD中，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
在PA上取點F，使PA=4PF，
連接FM，MC，F(xiàn)D，
在△PAB中，
∵

PF

PA

=

PM

PB

=

1

4

．
∴MF

∥ .

.

1

4

AB，
∴四邊形CDFM是平行四邊形，
所以此時的CM∥平面PAD，
即點M在線段PB上使PA=4PM處．
（2）．證明：

∵PC⊥平面ABCD

，
∴∠PBC是直線PB與平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°，
∵PC=2，
∴BC=2

3

，
分別以CD，CB，CP為x，y，z軸，C為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），B（0，2

3

，0），A（4，2

2

，0），D（1，0，0），P（0，0，2），
設(shè)E為PA的中點，則E（2，

3

，1），

EB

=(2，

3

，-1)，

AP

=(-4，-2

3

，2)，

PD

=(1，0，-2)，
∴

EB

•

AP

=(-2)×(-4)+

3

×(-2

3

)+(-1)×2=0，

EB

•

PD

=(-2)×1+

3

×0+(-1)×（-2）=0，
∴EB⊥AP，EB⊥PD，
∴EB⊥平面PAD，
∵EB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
（3）作MG⊥平面PAD，垂足為G
∵平面PAB⊥平面PAD，M∈平面PAB
∴G∈PA=平面PAB∩平面PAD
由（2）可知：|

EB

| =

(-2)2+( 3 )2+(-1)2

=2

2

，
又由BE⊥PA，MG⊥PA．
知△PMG∽△PBE，∴

PM

PB

=

MG

BE

=

2

2 2

=

1

2

，
∴此時點M在PB的中點上．

點評：本題考查空間角和空間距離的計算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．