Question

【題目】是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時(shí)且最大面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線：與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見解析.

【解析】

（1）由的面積最大時(shí)且最大面積為求得且，再結(jié)合即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知，設(shè)直線：，則直線：，然后分別與聯(lián)立求出，，再利用斜率公式得出的值即可.

（1）當(dāng)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，

則即，

又，∴，，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線不與垂直，設(shè)直線：，

即，直線：，即，

設(shè)，，

由得，

∴，∴，

則.

又，，

∴，

又，∴，

∴.