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        1. (2012•楊浦區(qū)一模)若函數(shù)y=f(x),如果存在給定的實數(shù)對(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b恒成立,則稱y=f(x)為“Ω函數(shù)”.
          (1)判斷下列函數(shù),是否為“Ω函數(shù)”,并說明理由;
          ①f(x)=x3         ②f(x)=2x
          (2)已知函數(shù)f(x)=tanx是一個“Ω函數(shù)”,求出所有的有序?qū)崝?shù)對(a,b).
          分析:(1)根據(jù)新定義,列出方程恒成立,通過判斷方程的解的個數(shù)判斷出f(x)=x3 不是“Ω函數(shù)”,f(x)=2x是“Ω函數(shù)”;
          (2)據(jù)題中的定義,列出方程恒成立,通過兩角和差的正切公式展開整理,令含未知數(shù)的系數(shù)為0,即可求出a,b.
          解答:解:(1)①若f(x)=x3 是“Ω函數(shù)”,則存在實數(shù)對(a,b),使得f(a+x)•f(a-x)=b,
          即(a2-x23=b時,對x∈R恒成立                                     …(2分)
          而x2=a2-
          3b
          最多有兩個解,矛盾,
          因此f(x)=x3 不是“Ω函數(shù)”…(3分)
          ②若f(x)=2x是“Ω函數(shù)”,則存在常數(shù)a,b使得2a+x•2a-x=22a,
          即存在常數(shù)對(a,22a)滿足,因此f(x)=2x是“Ω函數(shù)”(6分)
          (2)解:函數(shù)f(x)=tanx是一個“Ω函數(shù)”,
          設(shè)有序?qū)崝?shù)對(a,b)滿足,則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立
          當a=kπ+
          π
          2
          ,k∈Z時,tan(a-x)tan(a+x)=-cot2x,不是常數(shù);   …(8分)
          因此a≠kπ+
          π
          2
          ,k∈Z,當x≠mπ+
          π
          2
          ,m∈Z時,
          則有(btan2a-1)tan2x+(tan2a-b)=0恒成立,
          所以btan2a-1=0且tan2a-b=0
          ∴tan2a=1,b=1
          ∴a=kπ+
          π
          4
          ,k∈Z,b=1      …(13分)
          ∴當x=mπ+
          π
          2
          ,m∈Z,a=kπ±
          π
          4
          時,tan(a-x)tan(a+x)=cot2a=1.
          因此滿足f(x)=tanx是一個“Ω函數(shù)”的實數(shù)對(a,b)=(kπ±
          π
          4
          ,1),k∈Z…(14分)
          點評:本題考查理解題中的新定義、判斷函數(shù)是否具有特殊函數(shù)的條件、利用新定義得到恒等式、通過仿寫的方法得到函數(shù)的遞推關(guān)系,屬于中檔題.
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          2
          2

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          [log2
          1
          3
          ,log2
          3
          5
          ]
          [log2
          1
          3
          ,log2
          3
          5
          ]

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          P在圓外
          P在圓外

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          (2012•楊浦區(qū)一模)計算:
          lim
          n→∞
          (1-
          2n
          n+3
          )
          =
          -1
          -1

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