Question

【題目】試問:能否把2008表示成的形式?如果可以,這種表示方式是否有無限多個?其中,m、n均為大于100且小于170的正整數(shù),且;均為兩兩不相等的小于6的正有理數(shù),且均為大于1且小于5的正整數(shù),同時, 兩兩不相等,也兩兩不相等請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

滿足題目要求的表示方式是存在的，且有無限多個.理由如下.

為方便計，試取，考慮和式

.①

注意到

，

則.②

由式①、②得

.

故

.

則

，

這里（的取法有無限多個，表示式也有無限多個）.

正項共有110+28×2=166個，而負(fù)項共有110個，均為兩兩不等的小于6的正有理數(shù).

（注意到，因為為偶數(shù)；又與互質(zhì)， 與互質(zhì)，也是因為為偶數(shù)；另外，，因為），從而，兩兩不相等.

顯然滿足“大于100且小于170，”.

另外，也容易驗證：以上的表示方式都滿足“也兩兩不相等”.

綜上所述，以上所構(gòu)造的2008的表示式完全符合題目要求，且表示式有無限多個.