Question

【題目】已知A，B，C是拋物線W：y2=4x上的三個(gè)點(diǎn)，D是x軸上一點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的頂點(diǎn)，且四邊形ABCD為正方形時(shí)，求此正方形的面積；

（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形ABCD是否可能為正方形，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）32；（2）不可能，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)知的坐標(biāo)為，代入拋物線方程，解出，即可得到正方形的面積；

（2）先假設(shè)四邊形為正方形，設(shè)直線的方程為，曲直聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，并依次求得中點(diǎn)坐標(biāo)、弦長(zhǎng)以及點(diǎn)的坐標(biāo)和弦長(zhǎng)，再利用，得到與等量關(guān)系①，然后利用，得到與等量關(guān)系②，聯(lián)立①②即可判定四邊形是否可能為正方形．

（1）當(dāng)點(diǎn)是的頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)與相交于點(diǎn)，則，

假設(shè)點(diǎn)在軸上方，則的坐標(biāo)為，

代入拋物線方程得，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為，

所以正方形的面積為．

（2）四邊形不可能為正方形．

當(dāng)點(diǎn)不是的頂點(diǎn)時(shí)，直線的斜率一定存在，設(shè)其方程為，

、坐標(biāo)分別為，，，，

聯(lián)立，則，

所以，，

因此，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

若四邊形為正方形，則的中點(diǎn)也是，，

因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以，所以，

代入，得，即，

所以，

化簡(jiǎn)得，①

，

因?yàn)?/span>，所以，

化簡(jiǎn)得，②

由①②得，，無解，

故四邊形不可能為正方形．