Question

如圖，已知中心在原點(diǎn)O、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線AB的距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)E（3，0），設(shè)點(diǎn)P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足EP⊥EQ，求•的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用離心率為 得到關(guān)于a，b，c之間的關(guān)系，再結(jié)合點(diǎn)O到直線AB的距離為 ，即可求出a，b，c，進(jìn)而得到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）先利用EP⊥EQ把所求問題轉(zhuǎn)化為 ，再利用點(diǎn)P在拋物線上，利用拋物線上的點(diǎn)的范圍限制即可求出 的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由離心率 ，得 ∴a=2b①
∵原點(diǎn)O到直線AB的距離為
∴②，
將①代入②，得b²=9，∴a²=36
則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）因?yàn)镋P⊥EQ∴
∴
設(shè)P（x，y），則 ，即
∴
∵-6≤x≤6，∴
則 的最小值為：6．
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵是利用條件列出關(guān)于a，b，c之間的方程．第二問重點(diǎn)是數(shù)量積的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．