Question

如圖，已知中心在原點(diǎn)0、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓T過(guò)點(diǎn)M（2，1），離心率為

3

2

；拋物線C頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸且過(guò)點(diǎn)M．
（Ⅰ）當(dāng)直線l₀經(jīng)過(guò)橢圓T的左焦點(diǎn)且平行于OM時(shí)，求直線l₀的方程；（Ⅱ）若斜率為-

1

4

的直線l不過(guò)點(diǎn)M，與拋物線C交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的離心率得到長(zhǎng)半軸和短半軸之間的關(guān)系，設(shè)出橢圓的方程，代入M點(diǎn)的坐標(biāo)，求出橢圓方程后得到半焦距，求出OM的斜率，則直線l₀的方程可求；
（Ⅱ）由題意設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)求出拋物線方程，再設(shè)出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出AB的斜率，結(jié)合斜率為-

1

4

求出A，B的縱坐標(biāo)的和，再由MA和MB的斜率和等于0證出直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

解答：（Ⅰ）解：由e=

c

a

=

3

2

，得

c2

a2

=

3

4

，

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²．
設(shè)橢圓T的方程為

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
將點(diǎn)M（2，1）代入橢圓方程得：

4

4b2

+

1

b2

=1，解得b²=2．
∴a²=8．
∴橢圓T的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．
則c=

a2-b2

=

8-2

=

6

．
因此左焦點(diǎn)為(-

6

，0)，kl0=kOM=

1

2

．
∴直線l₀的方程為y=

1

2

(x+

6

)，
即y=

1

2

x+

6

2

；
（Ⅱ）證明：如圖，

設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
代入M的坐標(biāo)得：1=4p，解得：p=

1

4

．
∴拋物線C的方程為：y2=

1

2

x．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，
則k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．
kAB=

y2-y1

x2-x1

=

1

2(y1+y2)

=-

1

4

，∴y₁+y₂=-2．
k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

1

2(y1+1)

+

1

2(y2+1)

=

y1+y2+2

2(y1+1)(y2+1)

=0．
∴直線MA，MB與X軸總圍成等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是把要證明的問題轉(zhuǎn)化為兩直線的斜率和等于0，是高考試卷中的壓軸題．