Question

【題目】已知拋物線，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，線段的中點(diǎn)為.點(diǎn)是上在軸上方的一點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線從左向右依次交于兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）由點(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，得，又為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的方程，解得，即可得到點(diǎn)坐標(biāo).

（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到直線和的傾斜角互補(bǔ)，即可作出證明.

（1）根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到的距離等于，

因?yàn)辄c(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，所以，

從而為等腰三角形，

又為線段的中點(diǎn)，所以，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，解得，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)直線的方程為，代入，并整理得，

由直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，得，

結(jié)合，解得，

由韋達(dá)定理，得，，

，

所以直線和的傾斜角互補(bǔ)，從而，

結(jié)合軸，得，故.