Question

設(shè)是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列, 是等差數(shù)列,且，
(1)求,的通項(xiàng)公式；
(2)記的前項(xiàng)和為，求證：；
(3)若均為正整數(shù),且記所有可能乘積的和，求證：．

Answer 1

（1） （2）證法一：放縮法；
（2）證法二： 應(yīng)用
（3）證法一：錯位相減法；證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

試題分析：（1）設(shè)的公比為的公差為，則     2分
解得所以        5分
（2）證法一：由題意得                 6分
                8分
所以         9分
（2）證法二：由題意得              6分
，當(dāng)時(shí)
且也成立，               8分
所以              9分
（3）證法一：由題意
  11分
令
以上兩式相減得 13分
又，所以             14分
證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（1）當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立。       10分
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即。       11分
當(dāng)時(shí)，
，所以當(dāng)時(shí)也成立               13分
綜合（1）、（2）知對任意都成立           14分
點(diǎn)評：典型題，本題綜合性較強(qiáng)，處理的方法多樣。涉及數(shù)列不等式的證明問題，提供了“錯位相減求和、放縮、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。