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        1. 已知:(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n(n≥2,n∈N*
          (1)當(dāng)n=5時(shí),求a0+a1+a2+a3+a4+a5的值.
          (2)設(shè)bn=
          a2
          2n-3
          ,Tn=b2+b3+b4+…+bn.試用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),Tn=
          n(n+1)(n-1)
          3
          分析:(1)通過(guò)給等式中的x賦值2求出展開(kāi)式的系數(shù)和.
          (2)將二項(xiàng)式的底數(shù)寫(xiě)成(x-1)+2形式,利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出a2,求出bn,利用數(shù)學(xué)歸納證明等式.
          解答:解:(1)當(dāng)n=5時(shí),
          原等式變?yōu)椋▁+1)5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a4(x-1)4+a5(x-1)5
          令x=2得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243
          (2)因?yàn)椋▁+1)n=[2+(x-1)]n所以a2=Cn2•2n-2
          bn=
          a2
          2n-3
          =2
          C
          2
          n
          =n(n-1)(n≥2)

          ①當(dāng)n=2時(shí).左邊=T2=b2=2,右邊=
          2(2+1)(2-1)
          3
          =2

          左邊=右邊,等式成立.
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),等式成立,即Tk=
          k(k+1)(k-1)
          3

          那么,當(dāng)n=k+1時(shí),
          左邊=Tk+bk+!=
          k(k+1)(k-1)
          3
          +(k+1)[(k+1)-1]=
          k(k+1)(k-1)
          3
          +k(k+1)
          =k(k+1)(
          k-1
          3
          +1)=
          k(k+1)(k+2)
          3
          =
          (k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]
          3
          =右邊.
          故當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.
          綜上①②,當(dāng)n≥2時(shí),Tn=
          n(n+1)(n-1)
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查賦值法是求展開(kāi)式的系數(shù)和常用的方法、考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題、
          考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          243
          243

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          (1)當(dāng)n=5時(shí),求a2的值.
          (2)設(shè)Sn=1+
          1
          2
          +
          1
          3
          +…+
          1
          a0-1
          ,求證:
          n
          2
          Sn≤n,n∈N*

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