Question

【題目】已知橢圓 和點(diǎn)P（4，2），直線l經(jīng)過點(diǎn)P且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)直線l的斜率為 時(shí)，求線段AB的長度；
（2）當(dāng)P點(diǎn)恰好為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的方程為y﹣2= （x﹣4），即為y= x，

代入橢圓方程x2+4y2=36，可得

x=±3 ，y=± ．

即有|AB|= =3

（2）解：由P的坐標(biāo)，可得 + ＜1，可得P在橢圓內(nèi)，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，① ，②

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③

由①﹣②可得， + =0，④

將③代入④，可得

kAB= =﹣ ，

則所求直線的方程為y﹣2=﹣ （x﹣4），

即為x+2y﹣8=0

【解析】（1）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，解方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn) 的距離公式即可得到弦長；（2）運(yùn)用點(diǎn)差法，求得直線的斜率，即可得到直線方程．