Question

(本小題12分) 正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，點A_n（）在雙曲線y²-x²=1上，點（）在直線y=-x+1上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和。
①求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
②設(shè)C_n=a_nb_n，證明 C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整數(shù)m的最小值。

Answer 1

(1) a_n=n+1, (2)利用單調(diào)性法加以證明。
(3) m的最小值為10

試題分析：① 由已知點A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是一個以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列。
∴a_n=n+1
∵點（）在直線y=-x+1上
∴T_n=-b_n+1            ①
∴T_n-1=-b_n-1+1         ②
①②兩式相減得b_n=-b_n+b_n-1
∴
令n=1得 
∴，。
∴
②
∴
=
=
=＜0，
∴＜
③ ∵ 而m＞7恒成立    ∴m＞7c₁=   而 
∴m的最小值為10。
點評：對于數(shù)列圖像的求解，該試題以函數(shù)為背景建立了遞推關(guān)系式，進而得到是等差數(shù)列，同時能借助于通項公式與前n項和的關(guān)系式，整體的思想求解通項公式，這是重要的一點。而對于錯位相減法求和需要熟練掌握，找到容易出錯的細節(jié)就是最后一步的合并，要細心點，屬于中檔題。