Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，關(guān)于△ABC的面積，有如下公式成立：S△ABC=

1

2

absin∠C=

1

2

acsin∠B=

1

2

bcsin∠A
試用上述公式，解答下題：
矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，E是BC的中點(diǎn)，如圖．動(dòng)點(diǎn)P以每秒2cm的速度從A出發(fā)，沿△AED的邊按A→E→D→A的順序繞行一周，設(shè)P點(diǎn)從A出發(fā)經(jīng)過x秒后△APD的面積為ycm²，求x與y的關(guān)系．

Answer 1

分析：由E為BC的中點(diǎn)，得到BE=CE，再根據(jù)ABCD為矩形，得到對(duì)邊AB與CD相等，∠B和∠C都為直角，利用SAS可證明三角形ABE與三角形DCE全等，可得對(duì)應(yīng)邊AE與DE相等，根據(jù)等邊對(duì)等角可得一對(duì)角相等，由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，在三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sin∠AEB的值，進(jìn)而確定出sin∠EAD與sin∠EDA的值，利用分三種情況考慮：當(dāng)P在AE上，P在DE上級(jí)P在AD上時(shí)，利用三角形的面積公式即可表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：∵E為BC的中點(diǎn)，且BC=6cm，
∴BE=EC=

1

2

BC=3cm，
又四邊形ABCD為矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，又BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，

∴∠EAD=∠EDA，
又△ABE為直角三角形，AB=4cm，BE=3cm，
根據(jù)勾股定理得：AE=5cm，
∴AE=DE=5cm，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EDA，
∴sin∠EAD=sin∠EDA=sin∠AEB=

AB

AE

=

4

5

，
當(dāng)P在AE上時(shí)，0≤x≤

AE

2

=

5

2

，
此時(shí)y=

1

2

AP•AD•sin∠PAD=

1

2

×2x×6×

4

5

=

24

5

x；
當(dāng)P在ED上時(shí)，

5

2

≤x≤

2DE

2

=5，
此時(shí)y=

1

2

AD•DP•sin∠ADP=

1

2

×6×（10-2x）×

4

5

=-

24

5

x+24；
當(dāng)P在DA邊上時(shí)，5＜x≤8，S_△APO=0，
綜上所述，x與y之間的函數(shù)關(guān)系為：
y=

24 5 x  (0≤x≤ 5 2 ) - 24 5 x+24 ( 5 2 ＜x≤5)  0   (5＜x≤8)

點(diǎn)評(píng)：此題屬于根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型的題，涉及的知識(shí)有：矩形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，三角形的面積公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合性較強(qiáng)的題．